Agrégation de mathématiques
J’ai passé avec succès l’agrég de maths, option informatique, en 2017. Voici mon compte-rendu des oraux.
Pendant l’année, j’ai préparé et rédigé quelques développements de maths (algèbre et analyse) (tex) et développements d’informatique (tex) ; quelques-uns sont relativement originaux et intéressants (par exemple, une preuve de la loi de réciprocité quadratique par comparaison série-intégrale !). J’ai aussi puisé chez des camarades ex-agrégatifs pour des idées de développements :
- Benjamin Havret et Paul Melotti pour les maths ;
- Théo Pierron et Jill-Jênn Vie pour l’info.
Merci aussi à Jill-Jênn pour ses macros LaTeX.
Pour voir à quoi ressemble un plan de leçon manuscrit dans le format réglementaire des 3 pages + 1 page d’annexe : mon plan pour la leçon 907, Algorithmique du texte, rédigé pour un oral blanc.
Vieux trucs de prépa
Quelques documents que j’ai rédigés en fin de prépa :
- Un exercice qui a fait sécher de nombreux élèves de M. Ginoux : pdf, tex. Voir aussi la solution de Paul Melotti, qui procède par des arguments de dénombrement, et a un bien meilleur humour que moi. (Il se trouve que cet exo est en fait beaucoup plus facile que ne le laissent penser ces deux solutions, dès lors qu’on a le bon point de vue : rédaction à venir…)
- Les slides de ma présentation sur la constructibilité à la règle et au compas pour la classe de MPSI1 du lycée Fermat : pdf, tex. J’y esquisse une démonstration du théorème de Wantzel et démontre l’impossibilité de la duplication du cube.
- Un recueil d’exercices pour la préparation à l’oral d’informatique fondamentale des ENS (depuis, une réforme du programme est passée par là) : pdf, tex.
J’ai également noté sur ordi un certain nombre de petits exercices taupinaux. Je ne les ai pas écrits à cause de leur beauté, mais simplement pour pouvoir transmettre des solutions d’exos par email, donc ils sont pas forcément très intéressants… à part peut-être si on veut savoir comment noter des équivalents asymptotiques en LaTeX.
- Automorphisme involutif (tex) (avec une astuce scandaleuse)
- Équations différentielles non linéaires (tex)
- Série et équivalent (tex)
- Série bis (tex)
- Inégalité avec des intégrales (tex)
- Gros fichier : polynômes, topologie et arithmétique (tex)
- Inégalité du réordonnement et applications à la convergence de séries (tex)
- Isométrie dans un espace euclidien (tex)
Note : dans un de ces documents, on peut trouver une démonstration un peu laborieuse du théorème de Niven. Depuis, j’ai pris connaissance d’une preuve plutôt jolie faisant intervenir le lemme de Gauss (un polynôme unitaire à coefficients entiers réductible sur ℚ est réductible sur ℤ), qui a fait l’objet d’un exercice à l’oral de l’X.
Énigmes non-triviales
Logique épistémique
« En Amazonie, il y a des tribus qui, quand elles voient des étrangers, leur tirent des flèches dessus. Je crois que c’est des logiciens parfaits qui ne veulent pas qu’on leur parle de la couleur de leurs yeux. »
Cf. section dédiée sur la page Logique.
Prisonniers et boîtes
On offre à 100 prisonniers une chance d’être libérés. Leurs noms ont été répartis aléatoirement dans 100 boîtes numérotées de 1 à 100, et chaque prisonnier doit retrouver son nom. (Les boîtes sont en bijection avec les noms des différents prisonniers.) Tour à tour, chaque détenu devra rentrer dans la salle contenant les boîtes, examiner le contenu d’au plus 50 boîtes, et trouver la boîte contenant son nom ; la libération n’aura lieu que si tout le monde réussit. Les prisonniers ne peuvent pas communiquer pendant ce processus, mais ils peuvent se réunir pour se mettre d’accord sur une stratégie commune avant. Quelle stratégie employer pour s’assurer plus de 30% de chances de réussite ? Cette stratégie est-elle optimale ?